Содержание
Линейное уравнение с одной переменной (Г.И. Вольфсон) 7 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Задача 1
В каждом автобусе можно разместить 30 школьников. Сколько автобусов потребуется, чтобы перевезти 930 школьников (см. Рис. 1)?
Решение
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Решим данную задачу с помощью уравнения. Пусть – это искомое число автобусов. В каждый автобус помещается 30 учеников, следовательно, общее количество учеников, которые проедут в искомом числе автобусов, будет равно . Однако общее количество учеников нам известно – 930, поэтому получили уравнение:
Найдём , решив данное уравнение:
Ответ: 31 автобус.
Линейное уравнение с одной переменной.
Определение
В задаче 1 мы составили уравнение, которое называется линейным уравнением.
Уравнение вида , где – переменная, и – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Число обычно называют коэффициентом, а число – свободным членом. Они могут быть положительными и отрицательными, целыми и нецелыми, и даже нулями. Например:
Решение линейного уравнения с одной переменной
Рассмотрим 2 случая:
1. Коэффициент не равен 0 ()
В этом случае обе части линейного уравнения можно разделить на a:
При этом будет равен:
2.
Коэффициент равен 0 ()
В этом случае линейное уравнение принимает вид . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на ноль следует, что, какое бы число мы ни взяли в качестве , при его подстановке в уравнение получится числовое равенство . Это равенство верное, когда , а в остальных случаях при это равенство неверное.
Следовательно, при и любое число является корнем линейного уравнения, так как при этих условиях подстановка вместо любого числа дает верное числовое равенство . А при и линейное уравнение не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо любого числа приводит к неверному числовому равенству (см. Рис. 2).
Рис. 2. Решение линейного уравнения с одной переменной
Задача 2
Решите уравнения:
1.
Коэффициент в данном уравнении не равен 0, поэтому корень данного уравнения будет равен:
2.
Коэффициент в данном уравнении равен 0, а свободный член не равен нулю, следовательно, у этого уравнения решений нет.
3.
можно представить, как . Поэтому будет равен:
4.
Коэффициент и свободный член в данном уравнении равны 0, поэтому – это любое число.
5.
Задача 3
Решите уравнения:
1.
Для удобства выполнения деления переведем и в неправильную дробь.
2.
представим в виде обыкновенной дроби.
Задача 4
При каких значениях выражение равно 0,1?
Решение
Формулировка данной задачи означает, что нам необходимо найти из уравнения .
Ответ: .
Задача 5
Составьте линейное уравнение, которое имеет корень (-3).
Решение
Общий вид линейного уравнения – это . По условию , потому необходимо найти такие и , чтобы . Для этого выбираем любое число , например 2:
Число выбираем такое, чтобы равенство было верным.
Ответ: .
Итоги урока
На этом уроке мы познакомились с понятием линейного уравнения с одной переменной, узнали, как называются составные части таких уравнений. Также мы узнали, сколько решений имеет линейное уравнение с одной переменной, и рассмотрели несколько примеров с решениями.
Эквивалентные преобразования уравнений
С уравнениями можно производить следующие эквивалентные преобразования.
1. К обеим частям равенства можно прибавлять или вычитать одно и то же число. Например, к каждой части уравнения можно прибавить 3, равенство при этом не изменится.
2. Каждую часть уравнения можно домножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю). Например, каждую часть уравнения можно домножить на , равенство при этом сохранится.
Более сложные примеры
Задача 6
При каких значениях уравнение имеет корень ?
Решение
При подстановке в уравнение должно получиться верное равенство:
После подстановки в уравнение мы получили новое линейное уравнение с переменной и коэффициентом равным 0,02. Решим это уравнение.
Ответ: .
Задача 7
При каких значениях уравнение имеет: 1. 0 корней; 2. 1 корень; 3. бесконечно много корней?
Решение
Для того чтобы найти в этом линейном уравнении, необходимо разделить на . Однако может быть равным 0, поэтому рассмотрим два случая.
а) Если , то:
Следовательно, при : x – это любое число, уравнение имеет бесконечно много решений.
б) Если , то:
Следовательно, при : уравнение будет иметь одно решение (один корень).
Ответ: 1. Не существует таких значений , при которых данное уравнение не имеет корней.
2. При – 1 решение.
3. При – бесконечно много решений.
Список литературы
1. Мордкович А.Г. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Мордкович А.Г., Н.П. Николаев. Алгебра 7 кл. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение. 2010.
4. Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др. Алгебра 7. – М.: Просвещение. 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет портал «Школьный помощник» (Источник)
2. Интернет портал «Математика в школе» (Источник)
3. Видеохостинг YouTube (Источник)
Домашнее задание
1.
Какое уравнение с одной переменной называется линейным?
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
3. Задания 4.2, 4.7, 4.9, 4.20 (стр. 23-26) – Мордкович А.Г. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (см. список рекомендованной литературы)http://slovo.ws/urok/algebra/07/003/023.html
4. Решите уравнения: 1. ; 2. ; 3.
5. При каких значениях a уравнение : а) имеет корень, равный -3; б) имеет корень, равный ; в) не имеет корней?
Линейное уравнение с одной переменной. Урок алгебры с применением ИКТ. 7 класс
Похожие презентации:
Пиксельная картинка
Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)
Информационная безопасность. Методы защиты информации
Электронная цифровая подпись (ЭЦП)
Этапы доказательной медицины в работе с Pico. Первый этап
История развития компьютерной техники
От печатной книги до интернет-книги
Краткая инструкция по CIS – 10 шагов
Информационные технологии в медицине
Информационные войны
1.
МБОУ ЕФРЕМОВСКАЯ СОШ
Урок алгебры
с применением ИКТ
Разработка учителя
высшей категории
Волковой О.П.
Ефремовка 2014 год
3. Цель урока: закрепить и обобщить знания учащихся о линейном уравнении с одной переменной. Задачи урока: * формировать умения
Цель урока:
закрепить и обобщить знания учащихся о
линейном уравнении с одной переменной.
Задачи урока:
* формировать умения пользоваться
алгоритмом при решении уравнений и задач.
* развивать мышление, память, умение анализировать,
развивать качества личности – трудолюбие,
аккуратность, настойчивость в достижении цели.
*
воспитывать познавательную активность,
интерес к истории математики.
ДЕВИЗ НАШЕГО УРОКА:
ЗНАНИЕ
– самое превосходное из
владений.
ВСЕ стремятся к нему,
само же оно не приходит
1. КАКОЕ УРАВНЕНИЕ
НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ?
Уравнение вида ах + b = 0, где х – переменная, а а и b
– некоторые числа — называется линейным уравнением с
одной переменной.
(Отличительная особенность такого уравнения – переменная х входит
в уравнение обязательно в первой степени)
2. КАК НАЗЫВАЮТСЯ УРАВНЕНИЯ,
ИМЕЮЩИЕ ОДИНАКОВЫЕ КОРНИ?
(Равносильными)
7. 4. КАКОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЮТ КОРНЕМ УРАВНЕНИЯ?
3.ЧТО ЗНАЧИТ РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ?
Найти его корень или доказать, что корня нет
4. КАКОЕ ЧИСЛО НАЗЫВАЮТ КОРНЕМ УРАВНЕНИЯ?
Значение буквы, при котором уравнение
превращается в верное равенство
При решении линейного уравнения ах + b = 0 возможны три
возможных случая :
1. Если число а = 0, то уравнение имеет один корень х = — b/a
2. Если числа а = 0 и b = 0, то уравнение имеет бесконечно много
корней(любое число является корнем уравнения)
3. Если числа а = 0 и b=0, то уравнение корней не имеет.
5.
КАКИЕ СВОЙСТВА ИСПОЛЬЗУЮТСЯ ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ?
1. Переносить слагаемые из одной части
уравнения в другую, изменив при этом знак
слагаемого на противоположный
2. Умножать и делить обе части уравнения на
одно и тоже число.
Запомним АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ линейного уравнения
ax + b = cx + d в
случае, когда
a=с
1. Перенести все члены уравнения из правой части в
левую с противоположными знаками.
2. Привести в левой части подобные слагаемые, в
результате чего получиться уравнение вида kx + m = 0,
где k = 0.
3. Преобразовать уравнение к виду kx = — m и записать его
корень: x = — m/k
1. Корни уравнения изменяются, если обе
части уравнения умножить на число (-10)
( НЕТ )
2. Корни уравнения не изменяются, если какоенибудь слагаемое перенести из одной части
уравнения в другую, изменив при этом его
знак
( ДА )
3. Если перед скобками стоит знак «–», то
нужно раскрыть скобки, сохранив знаки
слагаемых
( НЕТ )
4. На ноль делить можно
( НЕТ )
КОГДА УРАВНЕНИЕ РЕШАЕШЬ ДРУЖОК,
ТЫ ДОЛЖЕН НАЙТИ У НЕГО ………………
ЗНАЧЕНИЕ БУКВЫ ПРОВЕРИТЬ НЕСЛОЖНО ПОСТАВЬ В …………………ЕГО ОСТОРОЖНО
КОЛЬ ВЕРНОЕ ……………….. ВЫЙДЕТ У ВАС
ТО ……………… ЗНАЧЕНЬЕ ЗОВИТЕ ТОТ ЧАС
КОГДА УРАВНЕНИЕ РЕШАЕШЬ ДРУЖОК,
ТЫ ДОЛЖЕН НАЙТИ У НЕГО
корешок
ЗНАЧЕНИЕ БУКВЫ ПРОВЕРИТЬ НЕСЛОЖНО —
ПОСТАВЬ В
КОЛЬ ВЕРНОЕ
ТО
уравнение
равенство
корнем
ЕГО ОСТОРОЖНО
ВЫЙДЕТ У ВАС
ЗНАЧЕНЬЕ ЗОВИТЕ ТОТ ЧАС
1) -2 — 10 =
2) -8 · (-10) =
3) -26 : (-13) =
4) 5,3 · (-0,4) =
5) 0 — 3,2 =
6) — 4 + 32 =
7) 25 + (-30) =
8) -2,8 : 0,4 =
1) -2 — 10 = -12
2) -8 · (-10) = 80
3) -26 : (-13) = 2
4) 5,3 · (-0,4) = -2,12
5) 0 — 3,2 = -3,2
6) — 4 + 32 = 28
7) 25 + (-30) = -5
8) -2,8 : 0,4 = -7
Раскрыть скобки.
С буквами влево, без букв – вправо.
Приводим подобные слагаемые.
Чтобы найти неизвестный
множитель, надо
произведение разделить на
известный множитель.
3(х +2)=2(х+2),
3х + 6 = 2х + 4,
3х – 2х = 4 – 6,
х = -2.
Ответ: х = -2
4(х-3) – 16 = 5(х-5),
4х – 12 = 16 + 5х – 25,
4х – 5х = 12 – 9,
-х = 3,
х = -3.
Ответ: х = — 3.
24. КАК РАСКРЫТЬ СКОБКИ, * ЕСЛИ ПЕРЕД НИМИ СТОИТ знак +? Раскрыть скобки не меняя знаки слагаемых, стоящих в скобках * ЕСЛИ ПЕРЕД
НИМИ СТОИТ знак — ?
Раскрыть скобки изменяя знаки слагаемых,
стоящих в скобках на противоположные.
х−
English
Русский
Правила
Напишите и решите двухшаговые уравнения с одной переменной в математическом или реальном контексте, где все члены являются рациональными числами.
Экспорт
Распечатать
Связанные точки доступа
Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями.
MA.7.AR.2.AP.2a: Настройте двухшаговые уравнения с одной переменной на основе реальных задач.
MA.7.AR.2.AP.2b: Решение двухшаговых уравнений с одной переменной на основе реальных задач, где все члены имеют положительные целые коэффициенты.
Связанные ресурсы
Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.
Формирующие оценки MFAS
Алгебра или арифметика?:
Учащимся предлагается сравнить арифметическое решение с алгебраическим решением текстовой задачи.
Решить уравнения:
Учащимся предлагается решить два уравнения с рациональными числами.
Квадраты:
Учащимся предлагается написать и решить уравнение вида p ( x + q ) = r в контексте задачи о периметре квадрата.
Напишите и решите уравнение:
Учащихся просят написать и решить двухэтапное уравнение для моделирования взаимосвязи между переменными в заданном сценарии.
Оригинальные учебные пособия для учащихся Наука — классы K-8
Балансировка машины:
Используйте модели для решения проблем балансировки на космической станции в этом интерактивном учебном пособии по математике и естественным наукам.
Оригинальные учебники для учащихся по математике — 6-8 классы
Профессор Э. Квал. Часть 1: 2 уравнения шага:
В этом интерактивном учебном пособии профессор Э. Квал научит вас решать и проверять двухшаговые уравнения.
Это первая часть серии из двух статей о решении двухшаговых уравнений.
Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы открыть Часть 2.
Профессор Э. Квал. Часть 2. Двухшаговые уравнения и рациональные числа:
Попрактикуйтесь в решении и проверке двухшаговых уравнений с рациональными числами в этом интерактивном учебном пособии.
Это вторая часть серии из двух статей о двухэтапных уравнениях. Щелкните ЗДЕСЬ, чтобы открыть Часть 1.
Ресурсы для учащихся
Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков, полученных в ходе этого теста.
Оригинальные учебные пособия для студентов
Профессор Э. Квал. Часть 2. Двухшаговые уравнения и рациональные числа:
Попрактикуйтесь в решении и проверке двухшаговых уравнений с рациональными числами в этом интерактивном учебном пособии.
Это вторая часть серии из двух статей о двухэтапных уравнениях.
Щелкните ЗДЕСЬ, чтобы открыть Часть 1.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Профессор Э. Квал. Часть 1: 2-этапные уравнения:
Профессор Э. Квал научит вас решать и проверять двухэтапные уравнения в этом интерактивном руководство.
Это первая часть серии из двух статей о решении двухшаговых уравнений. Нажмите ЗДЕСЬ, чтобы открыть Часть 2.
Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся
Балансировка машины:
Используйте модели для решения проблем балансировки на космической станции в этом интерактивном учебном пособии по математике и естественным наукам.
Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся
Руководство
Основная задача линейного уравнения:
В этом видеоролике показано, как построить и решить базовое линейное уравнение для решения текстовой задачи.
Тип: Учебник
Видео/аудио/анимация
Решение задач движения с помощью линейных уравнений:
На основе определения скорости могут быть созданы линейные уравнения, которые позволяют нам решать задачи, связанные с постоянными скоростями, временем и расстоянием.
Примечание. Это видео превосходит основные ожидания в отношении математических понятий в этом классе. Видео предназначено для учащихся, продемонстрировавших мастерство в рамках обучения, которые могут быть готовы к более строгому расширению математических концепций. Как и в случае со всеми другими материалами, убедитесь, что вы оцениваете готовность учащихся или адаптируете их в соответствии с потребностями учащихся перед администрированием.
Тип: Видео/Аудио/Анимация
Решение задач с линейными уравнениями:
Видео объясняет процесс создания линейных уравнений для решения реальных задач.
Тип: видео/аудио/анимация
Ресурсы для родителей
Проверенные ресурсы, которые воспитатели могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте.
Решение линейных уравнений – Подготовка к оценке TSI
A линейное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную вроде « x », а не что-то вроде x 2. Линейные уравнения могут выглядеть как x + 6 = 4 или как 2 a — 3 = 7.
В общем, чтобы решить уравнение, вы хотите получить переменную саму по себе, отменив любые операции, которые к ней применяются.
Вот общая стратегия решения линейных уравнений.
Шаг 1. Удаление дробей или десятичных знаков.
Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения, удалив скобки и объединив одинаковые члены.
Шаг 3.
Изолируйте переменный член в одной части уравнения.
Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
Шаг 5. Проверьте свое решение.
Пример 1 : Решите для x : 3(2 – 5 x ) + 4(6 x ) = 12
83
80057 Решение.
Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.
Этот шаг необязателен для данного уравнения.
Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения.
Удалить скобки
3(2 – 5 x ) + 4(6 x ) = 12
Применить свойство распределения.
6 – 15 x + 24 x = 12
Объединить одинаковые термины
6 – 15 x + 24 x = 12
Члены x объединяются в левой части уравнения.
6 + 9 x = 12
Шаг 3. Выделите переменный член в одной части уравнения.
6 + 9 x = 12
Вычтите 6 из каждой части уравнения.
6 + 9 x – 6 = 12 –6 9 x = 6
Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
Разделите каждую часть уравнения на 9.
9 x ÷ 9 = 6 ÷ 9
Сократите дробь.
x = 2/3
Шаг 5. Проверьте свое решение.
Это остается за вами.
Пример 2 : Solve for y : 0.12( y – 6) + 0.06 y = 0.08 y – 0.7
Раствор.
Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.
Умножьте каждую часть уравнения на 100.
100[0,12( y — 6) + 0,06 y ] = 100 [0,08 Y — 0,7 ]
Шаг 2. Спромийте каждую сторону уравнения.
Распределите 100 на каждый член уравнения.
100 [0,12 ( Y — 6) ] + 100 [0,06 Y ] =
888 88888 888 8888 888 888 888 88878 888 888 888878 888 887888 88 888888878 888 888 888 888788 888 888 8887888 888 8887888 9. ]
0 = Y ]
0 = .0031 y ] – 100 [0.7]
Simplify terms
12( y – 6) + 6 y = 8 y – 70
Remove parentheses
12 y – 72 + 6 y = 8 y – 70
Combine like terms
18 y – 72 = 8 y – 70
Шаг 3.
Выделите переменный член в одной части уравнения.
Вычтите 8 y из каждой части уравнения.
18 y – 72 – 8 y = 8 y – 70 – 8 y 10 y – 72 = – 70
Добавьте 72 к каждой части уравнения.
10 y – 72 + 72 = – 70 + 72 10 y = 2
Шаг 4. Решите уравнение, разделив каждую часть уравнения.
Разделите каждую часть уравнения на 10.
10 y ÷ 10 = 2 ÷ 10
3 Уменьшите дробь.
y = 1/5 = 0,2
Шаг 5. Проверьте свое решение.
Это остается за вами.
Решение линейных уравнений, которые либо не имеют решения
Пример 3 : Решите следующее уравнение путем факторизации.
Solve for x : 2( x + 3) – 5 = 5 x – 3(1 + x )
Раствор.
Шаг 1. Очистить дроби или десятичные дроби.
Этот шаг необязателен для данного уравнения.
2( x + 3) – 5 = 5 x – 3(1 + x )
Шаг 2. Упростите каждую часть уравнения.
Удалить круглые скобки
2 x + 6 – 5 = 5 x – 3 – 3 x
3 Объединить одинаковые термины 2 69 x + 6 – 5 = 5 x – 3 – 3 x 2 x + 1 = 2 x – 3 Step 3. Изолируйте переменный член на одной стороне уравнения. Вычтите 2 x из каждой части уравнения.