Линейное уравнение 7 класс это: Линейное уравнение — урок. Алгебра, 7 класс.

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:

• если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;

• если а = 0 — уравнение корней не имеет;

• если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.

Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

• кубические,
• уравнения четвертой степени,
• иррациональные и рациональные,
• системы линейных алгебраических уравнений и другие.

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

1. Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

   6x — 5x = 10

2. Приведем подобные и завершим решение.

   x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12

Как решаем:

1. Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

   -4x = 12 | : (-4)
   x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

1. ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.

   6х = 19 − 1

2. Выполнить вычитание.

   6х = 18

3. Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

   х = 3

Ответ: 3.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.

Решаем так:

1. Раскрыть скобки

   5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

   5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

3. Приведем подобные члены.

   0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

1. Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.

   х = 1/8 : 4

   х = 1/32

Ответ: 1/32.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

Решаем так:

1. 4х + 8 = 6 − 7х

2. 4х + 7х = 6 − 8

3. 11х = −2

4. х = −2 : 11

5. х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

2. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24

3. 9х — 12 = 28х + 24

4. 9х — 28х = 24 + 12

5. -19х = 36

6. х = 36 : (-19)

7. х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

1. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

   х – х = 4 — 7

2. Приведем подобные члены.

   0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Решаем так:

1. 2х + 6 = 5 − 7х

2. 2х + 7х = 5 − 6

3. 9х = −1

4. х = −1/9

Ответ: −1/9.

Линейное уравнение с одной переменной | 7 класс

Содержание

Что такое уравнение

Для изучения темы линейного уравнения вспомним, что уравнением называют равенство, в составе которого есть неизвестное число. Это неизвестное число-переменную нам и нужно найти.

К примеру, не будут уравнениями выражения $3n-4$ или $d + 8$. Ведь в них не требуется найти значение переменной и отсутствует знак равенства. Это просто буквенные выражения. А вот записи: $4y-7 = 13$ или $-5x = 6x-2$ являются уравнениями. 

Чаще всего уравнения используют, чтобы решить задачу. 

Приведем пример

Папе и сыну вместе $45$ лет, при этом известно, что отец старше на $19$ лет. Найдем, сколько лет каждому из них?

Обозначим возраст сына за $x$, тогда папе будет $x+19$ лет. Получим уравнение: $x + (x + 19) = 45$, так как по условию вместе им $45$ лет. Решим:

после раскрытия скобок: $2x + 19 = 45$,

$2x = 45-19$,

$2x = 26$,

$x = 13$

То есть с помощью составления уравнения мы выяснили, что сыну $13$ лет. Отцу тогда $32$ года $(13 + 19)$. И вместе им действительно $45$ лет: $$13 + 32 = 45$$

Таким образом, записав по условию задачи уравнение, мы смоделировали алгебраическую модель ситуации.

Неизвестная переменная может обозначаться в уравнении не только буквами $x$ или $y$, но и любыми другими латинскими буквами.

Когда от нас требуется решить уравнение, мы должны найти все его корни либо показать, что их нет.

Корень уравнения – это значение неизвестной переменной, превращающее уравнение в верное равенство.

Рассмотрим пример 

$3x-1 = 5$

Выясним, является ли корнем этого уравнения $x = 4$. Подставим $4$ вместо $x$ и получим: $${3\times 4}-1 = 5$$$$12-1 = 5$$$$11 = 5$$

При решении мы поняли, что $x ≠ 4$, так как $11 ≠ 5$. 2 + 3 = 7$$ или неизвестная переменная находится в знаменателе дроби: $$\frac {8}{x} — 3 = 0$$ они не будут называться линейными.

Иногда в составе уравнения есть несколько переменных, это  тоже не наш случай: такие уравнения будут изучаться позже.

Коэффициенты и решение линейных уравнений

Числа $a$ и $b$ в линейном уравнении называют коэффициентами. Они могут быть выражены любыми числами, в том числе отрицательными или дробными. При этом $a$ называют коэффициентом при неизвестной переменной, а коэффициент $b$ свободным.

В наших примерах у уравнений был единственный корень. Наверное, вы заметили, что в них коэффициенты $a$ и $b$ были равны числам, отличным от нуля. Подобные уравнения решаются по простому алгоритму: $$x = \frac {b}{a}$$

Посмотрим, когда линейное уравнение никак не может иметь корней (или верного решения). 

Попробуем взять коэффициент $a$, равный $0$, а коэффициент $b$ — любое число, не равное $0$. Тогда получим уравнение: $$0\times x = b$$ При умножении $x$ на ноль всегда будет ноль, но у нас $b ≠ 0$. Следовательно, правая и левая части такого уравнения между собой не равны, и при $a = 0$, а $b ≠ 0$ линейное уравнение не имеет верного решения.

Но линейное уравнение может иметь и множество решений. Рассмотрим такой случай. Например, что будет, если оба коэффициента равны нулю: $a = 0$ и $b = 0$? $$0\times x + 0 = 0$$ Ясно, что любое подобное уравнение с обоими коэффициентами, равными нулю, имеет бесконечно много корней. Почему? Потому что любое число при умножении на 0 дает ноль. Какое бы число вместо $x$ мы не подставили, равенство будет верным.

Таким образом, при решении линейных уравнений мы пришли к трем общим ситуациям:

Величины $a$ и $b$	$a ≠ 0$, $b$ — любое	$a = b = 0$	$a = 0$, $b ≠ 0$
Корни уравнения $ax = b$	$x = \frac {b}{a}$	$x$ — любое	корней нет

Свойства линейных уравнений

Цель любого линейного уравнения – выразить $x$ и понять, чему он будет равен.

До того, как начать решать уравнение, над ним необходимо произвести все доступные арифметические действия, например, сложение/вычитание, раскрытие скобок, умножение/деление отдельно для свободных коэффициентов и отдельно для членов уравнения с неизвестной переменной.

Для упрощения дальнейшего решения с уравнениями можно произвести те же действия, что применяются к другим математическим выражениям.

Свойства линейных уравнений:

1. Любой член можно перенести из одной части линейного уравнения в другую, но при этом нужно не забыть заменить знак на противоположный.

В процессе решения надо так преобразовать уравнение, чтобы все известные члены оказались с одной стороны равенства, а неизвестные — с другой.

Например: $5x = 30-3x$. Для решения перенесем $-3x$ в левую часть с противоположным знаком и получим $5x + 3x = 30$. 

2. В ходе решения обе части уравнения можно одновременно делить или умножать на какое-то одно и то же число, отличающееся от $0$. При этом равенство будет оставаться верным.

Часто второе свойство применяется в уравнениях с дробями. Например, нужно решить уравнение: $$\frac {5}{2}\times x = 8$$ Чтобы избавиться от дроби, попробуем и правую и левую части уравнения умножить на $2$. Тогда мы получим: $$2\times \frac {5}{2}\times x = 2\times 8$$ После умножения уравнение примет следующий вид: $$5x = 16$$

Согласитесь, такое уравнение решить намного легче. При этом после подобных преобразований равенство не нарушается, и мы получаем равносильные уравнения.

7 -й класс линейные листы линейных уравнений 7 -й класс Линейные уравнения

• Интерактивные рабочие листы

Средняя

Решение линейного уравнения с использованием уравнения с добавлением и вычтением

Уравнение с использованием Уравнения.

Рабочие листы по линейным уравнениям для 7 класса помогают учащимся понять различные термины, такие как константы и переменные, связанные с алгебраическими выражениями, а также различные операции, связанные с линейными уравнениями, такие как нахождение значения переменной. Концепция линейных уравнений сопровождает ученика в его путешествии по математике в старших классах. Линейные уравнения помогают в решении задач, связанных с возрастом, геометрией, работой, временем и заработной платой.

Эти рабочие листы линейных уравнений седьмого класса содержат вопросы, относящиеся к следующим темам:

• Решение уравнений с помощью сложения или вычитания: Учащийся может применить свойство равенства сложения или вычитания для получения эквивалентных уравнений, а затем найти решение уравнений .
• Решение уравнений с помощью умножения или деления: Рабочие листы линейных уравнений седьмого класса содержат вопросы, в которых учащийся может применить свойства равенства умножения и деления для получения эквивалентных уравнений. Также учащийся может решать уравнения, включающие умножение или деление, для решения задач, связанных с реальными жизненными ситуациями.
• Решение двухэтапных уравнений: Большинство вопросов из рабочих листов среднего и сложного уровня имеют двухэтапное решение, где сначала применяется свойство сложения или вычитания, а затем применяется свойство умножения или деления, чтобы получить решение. Решение этих типов задач повышает способность учащегося решать алгебраические выражения.

Если вы чувствуете необходимость обновить свое понимание линейных уравнений как концепции, нажмите на следующие ссылки:

• Написание уравнений с одной переменной
• Написание уравнений с двумя переменными
• График линейных уравнений и пропорциональных отношений
• График линейного уравнения (стандартная форма)
• Решение специальных систем линейных уравнений
• путем решения системы линейных уравнений подстановки метод
• Решение уравнения с одной переменной с использованием различных операций

Преимущества рабочих листов для линейных уравнений 7-го класса

• Задачи линейных уравнений (просто): Эти рабочие листы линейных уравнений седьмого класса помогают учащимся вспомнить свойства и стратегии решения задач, связанных с линейными уравнениями. Бесплатные печатные рабочие листы привлекают учащихся к изучению концепций и применению их в классе.
• Задачи по линейным уравнениям (средний): Рабочие листы по линейным уравнениям для 7 класса, которые можно распечатать и найти в Интернете, позволяют учащимся представлять и решать задачи в связи с реальными жизненными ситуациями. Это также помогает учащемуся укрепить способность быстро решать задачи на линейные уравнения, используя соответствующие свойства. Эти рабочие листы также помогают улучшить способности студента.
• Задачи линейных уравнений (сложные): Учащиеся могут узнать о различных типах стратегий написания решений, таких как требование применения двух или более шагов в решении. Бесплатные онлайн и печатные рабочие листы линейных уравнений для седьмого класса гарантируют, что учащиеся лучше подготовлены для разработки решений в различных ситуациях. Рабочие листы также помогают учащимся развивать свои способности решать проблемы для будущих классов.

 

Печатные PDF-файлы и электронные рабочие листы для 7-го класса

Бесплатные печатные рабочие листы по линейным уравнениям для 7-го класса служат отличным инструментом для улучшения навыков решения задач и подготовки учащихся к таким оценкам, как стандартизированные экзамены и тесты на пригодность. Рабочие листы линейных уравнений 7-го класса помогают учащимся получить полное представление о том, как линейные уравнения изменяются при решении задач. Попытка ответить на сложные вопросы, которые встречаются в старших классах, является бонусом. Рабочие листы по линейным уравнениям для 7-го класса охватывают основы, включая проблемы, связанные с возрастом, работой, заработной платой, геометрией, временем и расстоянием. Онлайн-рабочие листы для линейных уравнений седьмого класса включают задачи, связанные с графами, что, безусловно, добавляет азарта процессу обучения. Рабочие листы с временным расписанием в Интернете также могут помочь учащимся улучшить свои навыки управления временем, особенно при решении определенных вопросов. Студенты также могут бросить вызов своим сверстникам и сравнить время, затраченное на заполнение рабочих листов, и баллы, полученные в конкретных рабочих листах.

Часто задаваемые вопросы

Что такое линейное уравнение?

Алгебраическое выражение, содержащее знак равенства и показатель степени каждой переменной, равный единице, называется линейным уравнением. Другими словами, уравнение «первой степени» называется линейным уравнением.

Чем полезны листы с линейными уравнениями для 7-го класса для учащихся?

Когда учащиеся решают задания самостоятельно, это способствует активному обучению, так как они испытывают чувство выполненного долга. Это повышает уровень любопытства к линейным уравнениям по отношению к конкретным темам и, в свою очередь, позволяет им решать более сложные вопросы. В таблицах линейных уравнений для 7 класса от BYJU’S Math учащиеся также изучают метод применения пошаговых решений, который еще больше укрепляет их понимание концепции.

Каковы свойства сложения и вычитания равенства?

Добавление свойства равенства: Добавление одного и того же числа к каждой стороне уравнения приводит к эквивалентному уравнению.

Свойство вычитания равенства: Вычитание одного и того же числа с каждой стороны уравнения дает нам эквивалентное уравнение.

Зачем учащимся нужны интерактивные рабочие листы?

Бесплатные онлайн-таблицы линейных уравнений для 7 класса связывают изучение нескольких понятий с забавным элементом. Эти рабочие листы следуют общей основной математической структуре и помогают учащемуся полностью ознакомиться с методами и терминами, используемыми в алгебре 7-го класса.

Как семиклассник использует линейные уравнения?

Учащийся может использовать линейное уравнение для решения задач, связанных с:

• Возрастом
• Скоростью, временем и расстоянием
• Геометрия и графики
• Работа, время и заработная плата

Класс-7 Линейные уравнения и рабочие листы

Линейные уравнения

Правила для решения линейного уравнения

Line Word Word Word Advation Word Advation

Задача

Тест линейного уравнения

Рабочий лист линейного уравнения

Лист ответов

Линейные уравнения

Уравнение, содержащее только одну переменную, имеющую степень 1, известно как линейное уравнение. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

2p + 4 = 8, 5 − 3y = -7, ^2a ⁄ ₅ − 4 = 6

Все приведенные выше 3 линейных уравнения имеют только одну переменную и имеют мощность 1.

Правила решения линейного уравнения

Мы должны следовать определенным правилам, чтобы узнать значение переменной данного линейного уравнения, и правила приведены ниже.

1. Мы можем добавить одно и то же число к обеим частям уравнения
2. Мы можем вычесть одно и то же число из обеих частей уравнения
3. Мы можем умножить одно и то же ненулевое число на обе части уравнения
4. Мы можем разделить одно и то же ненулевое значение на обе части уравнения

Правила транспонирования

Член можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. 5b − 3 = 12

Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде

        => 5b = 12 + 3

Преобразование -3 из левой стороны в правую путем изменения знака на +3.

Пример 2. 5q + 5 = 19 − 2q

Приведенное выше линейное уравнение можно записать в виде

        => 5q + 2q = 19 − 5

5.

Точно так же мы транспонируем -2q из правой стороны в левую, изменив знак на +2q.

Процедура решения линейного уравнения

1. Упростите обе части, удалив групповые символы и собрав одинаковые члены
2. Удаление дробей путем умножения обеих частей на соответствующий коэффициент
3. Расположить все переменные с одной стороны и все постоянные с другой стороны
4. Сделать коэффициент переменной равным 1

Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Решите 3m + 5 = 25 − 2m.

Раствор. 3m + 5 = 25 − 2m

        => 3m + 2m = 25 − 5

        => 5m = 20

        => m = 20 ÷ 5

        => m = 4

Пример 2. Решить 2(p − 1) = p + 12.

Решение. 2(p − 1) = p + 12

        => 2p − 2 = p + 12

        => 2p − p = 12 + 2

Пример 3. Решить 5n − ⁴ ⁄ ₅ = 20.

Решение. 5н — ⁴ ⁄ ₅ = 20

Умножение обеих сторон на 5.

=> 25N — 4 = 100

=> 25n = 100 + 4

=> 25n = 104

=> n = 104 ÷ 25

= 104

=> n = 104 ÷ 25

= > n = 20 ⁴ ⁄ ₅

Словесная задача линейного уравнения

Проблема, сформулированная словами, известна как словесная задача. Решение словесной задачи состоит из двух шагов. Первый шаг — перевод слов задачи в алгебраическое уравнение. Второй шаг – решение уравнения. Давайте посмотрим на некоторые примеры.

Пример 1. Если к числу, умноженному на три раза, прибавить 7, то получится 28. Найдите число.

Раствор. Предположим, это число p.

Согласно заданной задаче. = 7

Следовательно, число равно 7.

Пример 2. Найдите три последовательных нечетных числа, сумма которых равна 105.

Решение. Пусть наименьшее, нечетное число равно m.

Следующие два нечетных числа это m+2 и m+4.

По данному слову задачи можно составить следующее линейное уравнение.

M + M + 2 + M + 4 = 105

=> 3m + 4 = 105

=> 3m = 99

=> M = 99 ÷ 3

=> M = 33

Следовательно, требуемые последовательные нечетные числа равны 33, 35 и 37.

Пример 3. Стоимость 3 тетрадей и 5 одинаковых ручек составляет рупий. 460. Если стоимость ноутбука составляет рупий. на 20 больше, чем ручка, тогда найдите стоимость каждой.

Раствор. Примем стоимость ручки = q

Тогда стоимость блокнота = q + 20

Итак, линейное уравнение будет

        3(q + 20) + 5q = 460

    +    => 3q + 6 q 5q = 460

=> 8q + 60 = 460

=> 8q = 400

=> Q = 400 ÷ 8

=> Q = 50

Следовательно, стоимость ручки и тетрадь составляет рупий.